由汽车过拱形桥问题引发的思考

在圆周运动的教学中，很多资料都提到汽车过拱形桥时在桥面的最高点速度应满足这样才能确保汽车在桥面最高点不会因平抛运动而出现飞车现象。对此，笔者不禁想到：①如果在桥顶时的车速由动力学方程可知汽车此时只受重力，所以汽车会在拱形桥的最高点做平抛运动而脱离桥面；②如果在桥顶时的车速则由动力学方程可知汽车会因离心运动而脱离桥面；但是当车速时，汽车一定会沿着桥面运动吗？

一、对汽车过拱形桥问题的分析

先对桥面进行科学抽象，不考虑汽车经过桥顶后所受摩擦及各种阻力的影响，进行如下讨论：

如图所示，设汽车在桥顶的速度为v且在没有脱离桥面的情况下其绕圆心转过圆心角为θ时速度为v1

根据机械能守恒定律：

对汽车列动力学方程：

联立以上两式解得：

由此进行分析：车在经过桥顶后的运动过程中，所受到的支持力FN随着角θ的增大而减小，并且随着θ的逐渐增大必会有FN减小到0之时。对做进一步讨论，当FN=0时，有此时的角θ用θmax表示，则其值为即汽车运动到和圆心连线与竖直方向的夹角为时，桥面对汽车的支持力减为0，这就是汽车脱离桥面的临界位置，汽车经过此位置将发生飞车现象。

可见，在极端的冰雪天气路面特别滑(轮胎与路面的动摩擦因数趋于0)的情况下，当汽车过拱形桥时在最高点的速度满足的情况下仍然会产生飞车现象，并且飞车现象发生的位置与汽车经过桥顶时的速度密切相关，即汽车运动到和圆心连线与竖直方向的夹角时发生飞车现象。

二、对汽车过形拱桥问题的思考

(一)从防止汽车发生飞车现象的角度对拱形桥的建造做进一步讨论

根据得知在拱形桥的半径r一定时，汽车经过桥顶的速度v越小则汽车发生飞车现象时汽车和圆心连线与竖直方向的夹角的最大值θmax就会越大。而汽车经过桥顶的速度最小可以为0，则由可知此时汽车和圆心连线与竖直方向的夹角的最大值最大，且此最大值为即，即使汽车无初速地从拱桥顶沿着光滑桥面下滑，滑到汽车与圆心的连线与竖直方向成时也会脱离桥面而发生飞车现象。因此对于路桥建设单位来说，为避免极端天气汽车经过拱形桥的桥顶后出现汽车与桥面间的动摩擦因数μ趋于0而导致飞车现象的发生，在建造拱形桥时桥面圆弧所对应的圆心角不宜超过96°。

(二)从防止发生飞车现象的角度对拱形桥的限速做进一步讨论

对于交管部门来说，道路限速的设定是一项常规工作，为避免极端天气汽车过拱形桥顶后发生飞车现象，对之前得到的结果换个角度进行分析：汽车以速度v经过拱形桥顶后无阻力地沿着半径为r、圆心角为2θ的桥面滑行，则可完全通过桥面而恰好不发生飞车现象。求解上式得所以为确保在极端天气汽车过拱桥顶后始终都能沿着桥面运动，汽车在经过桥顶时速度应满足：希望此结果可以为交管部门在拱形桥的限速设定提供参考。

为了能够更加形象直观地说明问题，现对以上所讨论的问题举例如下：

例 一座拱形桥，其半径为r=50m，桥面圆弧所对应的圆心角α=60°，试问：①若汽车过桥顶后的行驶过程不计所受到的一切阻力，则汽车过桥顶时的速度最大值为多少？②若汽车过桥顶后的行驶过程所受到的平均阻力为车重的K倍，K=0.25，则汽车过桥顶时的速度最大值为多少？(重力加速度g取10m/s2)

解：汽车从桥顶沿桥面滑到桥尾绕圆心转过的圆心角

①不计阻力时，汽车从桥顶到桥尾的过程中：

由机械能守恒定律：

在桥尾对汽车列动力学方程：

联立以上两式解得：

带入数据得：为保证安全汽车过桥顶时所允许的最大速度v≈17.3m/s

②有阻力时，汽车从桥顶到桥尾的过程中：

由功能关系得：

在桥尾对汽车列动力学方程：

联立以上两式解得：

带入数据得：为保证安全汽车过桥顶时所允许的最大速度v≈20.7m/s

以上是笔者在进行圆周运动部分的教学过程中遇到的问题和引发的一些思考，希望能对从事高中物理教学的一线教师提供一些借鉴。

何辉，新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市，乌鲁木齐市第二十中学。

在圆周运动的教学中，很多资料都提到汽车过拱形桥时在桥面的最高点速度应满足这样才能确保汽车在桥面最高点不会因平抛运动而出现飞车现象。对此，笔者不禁想到：①如果在桥顶时的车速由动力学方程可知汽车此时只受重力，所以汽车会在拱形桥的最高点做平抛运动而脱离桥面；②如果在桥顶时的车速则由动力学方程可知汽车会因离心运动而脱离桥面；但是当车速时，汽车一定会沿着桥面运动吗？一、对汽车过拱形桥问题的分析先对桥面进行科学抽象，不考虑汽车经过桥顶后所受摩擦及各种阻力的影响，进行如下讨论：如图所示，设汽车在桥顶的速度为v且在没有脱离桥面的情况下其绕圆心转过圆心角为θ时速度为v1根据机械能守恒定律：对汽车列动力学方程：联立以上两式解得：由此进行分析：车在经过桥顶后的运动过程中，所受到的支持力FN随着角θ的增大而减小，并且随着θ的逐渐增大必会有FN减小到0之时。对做进一步讨论，当FN=0时，有此时的角θ用θmax表示，则其值为即汽车运动到和圆心连线与竖直方向的夹角为时，桥面对汽车的支持力减为0，这就是汽车脱离桥面的临界位置，汽车经过此位置将发生飞车现象。可见，在极端的冰雪天气路面特别滑(轮胎与路面的动摩擦因数趋于0)的情况下，当汽车过拱形桥时在最高点的速度满足的情况下仍然会产生飞车现象，并且飞车现象发生的位置与汽车经过桥顶时的速度密切相关，即汽车运动到和圆心连线与竖直方向的夹角时发生飞车现象。二、对汽车过形拱桥问题的思考(一)从防止汽车发生飞车现象的角度对拱形桥的建造做进一步讨论根据得知在拱形桥的半径r一定时，汽车经过桥顶的速度v越小则汽车发生飞车现象时汽车和圆心连线与竖直方向的夹角的最大值θmax就会越大。而汽车经过桥顶的速度最小可以为0，则由可知此时汽车和圆心连线与竖直方向的夹角的最大值最大，且此最大值为即，即使汽车无初速地从拱桥顶沿着光滑桥面下滑，滑到汽车与圆心的连线与竖直方向成时也会脱离桥面而发生飞车现象。因此对于路桥建设单位来说，为避免极端天气汽车经过拱形桥的桥顶后出现汽车与桥面间的动摩擦因数μ趋于0而导致飞车现象的发生，在建造拱形桥时桥面圆弧所对应的圆心角不宜超过96°。(二)从防止发生飞车现象的角度对拱形桥的限速做进一步讨论对于交管部门来说，道路限速的设定是一项常规工作，为避免极端天气汽车过拱形桥顶后发生飞车现象，对之前得到的结果换个角度进行分析：汽车以速度v经过拱形桥顶后无阻力地沿着半径为r、圆心角为2θ的桥面滑行，则可完全通过桥面而恰好不发生飞车现象。求解上式得所以为确保在极端天气汽车过拱桥顶后始终都能沿着桥面运动，汽车在经过桥顶时速度应满足：希望此结果可以为交管部门在拱形桥的限速设定提供参考。为了能够更加形象直观地说明问题，现对以上所讨论的问题举例如下：例 一座拱形桥，其半径为r=50m，桥面圆弧所对应的圆心角α=60°，试问：①若汽车过桥顶后的行驶过程不计所受到的一切阻力，则汽车过桥顶时的速度最大值为多少？②若汽车过桥顶后的行驶过程所受到的平均阻力为车重的K倍，K=0.25，则汽车过桥顶时的速度最大值为多少？(重力加速度g取10m/s2)解：汽车从桥顶沿桥面滑到桥尾绕圆心转过的圆心角①不计阻力时，汽车从桥顶到桥尾的过程中：由机械能守恒定律：在桥尾对汽车列动力学方程：联立以上两式解得：带入数据得：为保证安全汽车过桥顶时所允许的最大速度v≈17.3m/s②有阻力时，汽车从桥顶到桥尾的过程中：由功能关系得：在桥尾对汽车列动力学方程：联立以上两式解得：带入数据得：为保证安全汽车过桥顶时所允许的最大速度v≈20.7m/s以上是笔者在进行圆周运动部分的教学过程中遇到的问题和引发的一些思考，希望能对从事高中物理教学的一线教师提供一些借鉴。

文章来源：《汽车实用技术》 网址: http://www.qcsyjs.cn/qikandaodu/2021/0215/746.html